Matematik Tambahan SPM 2017, Kertas 2 (Soalan 11)

Soalan 11 (10 markah):
Rajah 6 menunjukkan lengkung y = 2x² – 18 dan garis lurus PQ yang merupakan tangen kepada lengkung itu pada titik K.


Diberi bahawa kecerunan garis lurus PQ ialah 4.
(a) Cari koordinat titik K
(b) Hitung luas rantau berlorek.
(c) Apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x dan garis lurus y = h diputarkan melalui 180^o pada paksi-y, isi padu kisaran ialah 65π unit³.  Cari nilai h.

 

Penyelesaian: 
(a)

$\begin{array}{l}y=2x^2-18\\ \frac{dy}{dx}=4x\\ \\ \text{Kecerunan garis lurus }PQ=4\\ 4x=4\\ x=1\\ \\ \text{Apabila }x=1,\\ y=2{\left(1\right)}^2-18=-16\\ \\ \text{Koordinat titik }K=\left(1,-16\right).\end{array}$

 

(b)

$\begin{array}{l}\text{Pada paksi-}x\text{, }y=0\\ \therefore 2x^2-18=0\\ 2x^2=18\\ x^2=9\\ x=\pm 3\\ \text{Lengkung itu memotong paksi-}x\text{ di titik }\left(-3,0\right)\text{ dan titik }\left(3,0\right)\text{.}\\ \\ \text{Luas rantau berlorek}\\ \text{= Luas }\Delta -\text{Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung}\\ =\frac{1}{2}\left(5-1\right)\left(16\right)-{\displaystyle {\int }_1^{3}ydx}\\ =32-{\displaystyle {\int }_1^3\left(2x^2-18\right)dx}\\ =32-\left|{\left[\frac{2x^3}{3}-18x\right]}_1^3\right|\\ =32-\left|\left(\frac{2{\left(3\right)}^3}{3}-18\left(3\right)\right)-\left(\frac{2{\left(1\right)}^3}{3}-18\left(1\right)\right)\right|\\ =32-\left|\left(18-54-\frac{2}{3}+18\right)\right|\\ =32-\left|-18\frac{2}{3}\right|\\ =32-18\frac{2}{3}\\ =13\frac{1}{3}{\text{ unit}}^2\end{array}$

 

(c)

$\begin{array}{l}\text{Isipadu kisaran}=65\pi \\ \pi {\displaystyle {\int }_h^0{x}^{2}dy}=65\pi \\ \pi {\displaystyle {\int }_h^0\left(\frac{y}{2}+9\right)dx}=65\pi \leftarrow \boxed{\begin{array}{l}y=2x^2-18\\ x^2=\frac{y}{2}+9\end{array}}\\ {\left[\frac{y^2}{4}+9y\right]}_h^0=65\\ 0-\left(\frac{h^2}{4}+9h\right)=65\\ -\frac{h^2}{4}-9h=65\\ h^2+36h+260=0\\ \left(h+10\right)\left(h+26\right)=0\\ h=-10\text{ or }h=-26\left(\text{ditolak}\right)\\ \text{Maka, }h=-10\end{array}$