Matematik Tambahan SPM 2018, Kertas 1 (Soalan 20 – 22)

Soalan 20 (3 markah):
Diberi bahawa lengkung y = (p – 2)x² – x + 7, dengan keadaan p ialah pemalar, bersilang dengan garis lurus y = 3x + 5 pada dua titik.
Cari julat nilai p.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}y=\left(p-2\right)x^2-x+7\mathrm{\dots \dots \dots }\left(1\right)\\ y=3x+5\mathrm{\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots }\left(2\right)\\ \\ \text{Gantikan }\left(1\right)\text{ ke dalam }\left(2\right):\\ \left(p-2\right)x^2-x+7=3x+5\\ \left(p-2\right)x^2-4x+2=0\\ a=\left(p-2\right),b=-4,c=2\\ b^2-4ac>0\\ {\left(-4\right)}^2-4\left(p-2\right)\left(2\right)>0\\ 16-8p+16>0\\ -8p>-32\\ 8p<32\\ p<4\end{array}$

Soalan 21 (3 markah):
Diberi bahawa persamaan kuadratik hx² – 3x + k = 0, dengan keadaan h dan k ialah pemalar, mempunyai punca-punca β dan 2β.
Ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}h{x}^2-3x+k=0\\ a=h,b=-3,c=k\\ \\ \text{HTP}=-\frac{b}{a}=-\frac{\left(-3\right)}{h}=\frac{3}{h}\\ \\ \text{HDP}=\frac{c}{a}=\frac{k}{h}\\ \\ \text{Diberi punca-punca}=\beta \text{ dan 2}\beta .\\ \text{HTP}=\beta +\text{2}\beta =3\beta ;\\ \text{HDP}=\beta \left(\text{2}\beta \right)=2{\beta }^2\\ \frac{3}{h}=\text{3}\beta \\ \beta =\frac{1}{h}\mathrm{\dots \dots \dots \dots ..}\left(1\right)\\ \frac{k}{h}=2{\beta }^2\mathrm{\dots \dots \dots ..}\left(2\right)\\ \\ \text{Gantikan }\left(1\right)\text{ ke dalam }\left(2\right):\\ \frac{k}{h}=2{\left(\frac{1}{h}\right)}^2\\ \frac{k}{h}=\frac{2}{h^2}\\ \frac{h^2}{h}=\frac{2}{k}\\ h=\frac{2}{k}\end{array}$

Soalan 22 (4 markah):
Rajah 9 menunjukkan hubungan antara set A, set B dan set C.

Rajah 9

Diberi bahawa set A dipetakan kepada set B oleh fungsi $\frac{x+1}{2}$dan dipetakan kepada set C oleh fg : x → x² + 2x + 4.
(a) Tulis fungsi yang memetakan set A kepada set B dengan menggunakan tatatanda fungsi.
(b) Cari fungsi yang memetakan set B kepada set C.


Penyelesaian:

(a)
$g:x\to \frac{x+1}{2}$


(b)

$\begin{array}{l}g\left(x\right)=\frac{x+1}{2}\\ fg\left(x\right)=x^2+2x+4\\ f\left[g\left(x\right)\right]=x^2+2x+4\\ f\left(\frac{x+1}{2}\right)=x^2+2x+4\\ \\ \text{Katakan }\frac{x+1}{2}=y\\ x+1=2y\\ x=2y-1\\ \\ \therefore f\left(y\right)={\left(2y-1\right)}^2+2\left(2y-1\right)+4\\ f\left(y\right)=4y^2-4y+1+4y-2+4\\ f\left(y\right)=4y^2+3\\ f\left(x\right)=4x^2+3\\ \\ \text{Maka, fungsi yang memetakan set }B\\ \text{kepada set }C\text{ ialah }f\left(x\right)=4x^2+3.\end{array}$