Matematik Tambahan SPM 2017, Kertas 1 (Soalan 23 – 25)

Soalan 23 (4 markah):
Satu set data terdiri daripada 2, 3, 4, 5 dan 6. Setiap nombor didarab dengan m dan ditambah dengan n, dengan keadaan m dan n adalah integer. Diberi bahawa min baharu ialah 17 dan sisihan piawai baharu ialah 4.242.
Cari nilai m dan nilai n.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum x}=2+3+4+5+6=20\\ {\displaystyle \sum x^2}=2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=90\\ \text{Min}=\frac{20}{5}=4\\ \text{Sisihan piawai}=\frac{{\displaystyle \sum x^2}}{n}-{\left(\overline{x}\right)}^2\\ =\frac{90}{5}-4^2=2\\ \\ \text{Min baharu}=17\\ 4m+n=17\mathrm{\dots \dots \dots .}\left(1\right)\\ \\ \text{Sisihan piawai baharu}=4.242\\ m\times \sqrt{2}=4.242\\ m=\frac{4.242}{\sqrt{2}}=2.9995\approx 3\\ \\ \text{Gantikan }m=3\text{ ke dalam }\left(1\right):\\ 4\left(3\right)+n=17\\ n=5\end{array}$

Soalan 24 (3 markah):
Rajah 9 menunjukkan graf bagi taburan binomial X ~ B(3, p).

Rajah 9

(a) Ungkapkan P(X = 0) + P(X > 2) dalam sebutan a dan b.
(b) Cari nilai p.


Penyelesaian:
(a)
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1
P(X = 0) + a + b + P(X = 3) = 1
P(X = 0) + P(X = 3) = 1 – a – b
P(X = 0) + P(X > 2) = 1 – a – b

(b)

$\begin{array}{l}P\left(X=0\right)=\frac{27}{343}\\ {}^3{C}_0\left(p^0\right){\left(1-p\right)}^3=\frac{27}{343}\\ 1\times 1\times {\left(1-p\right)}^3={\left(\frac{3}{7}\right)}^3\\ 1-p=\frac{3}{7}\\ p=\frac{4}{7}\end{array}$

Soalan 25 (4 markah):
Rajah 10 menunjukkan satu graf taburan normal piawai.

Rajah 10

Kebarangkalian yang diwakili oleh luas kawasan berlorek ialah 0.2881.
(a) Cari nilai h.
(b) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar bertaburan secara normal dengan min, μ dan varians 16.
Cari nilai μ jika skor-z bagi X = 58.8 ialah h.


Penyelesaian:
(a)
P(X < h) = 0.5 – 0.2881
P(X < h) = 0.2119
P(X < –0.8) = 0.2119
h = –0.8

(b)

$\begin{array}{l}X=58.8\\ \frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{58.8-\mu }{\sigma }\\ Z=\frac{58.8-\mu }{4}\\ h=\frac{58.8-\mu }{4}\\ -0.8=\frac{58.8-\mu }{4}\\ -3.2=58.8-\mu \\ \mu =58.8+3.2\\ \mu =62\end{array}$