2.8.2 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Lengkung y = x³ – 6x² + 9x + 3 melalui titik P (2, 5) dan mempunyai dua titik pusingan A (3, 3) dan B.

Cari

(a) kecerunan lengkung itu pada P.

(b) persamaan normal kepada lengkung itu pada P.

Penyelesaian:

(a)

y = x³ – 6x² + 9x + 3

dy/dx = 3x² – 12x + 9

di titik P (2, 5),

dy/dx = 3(2)² – 12(2) + 9 = –3

Kecerunan lengung pada titik P = –3.

(b)

Kecerunan normal pada titik P = ⅓

persamaan normal pada P (2, 5):

y – y₁= m (x – x₁)

y – 5 = ⅓ (x– 2)

3y – 15 = x – 2

3y = x + 13

(c)

Pada titik pusingan dy/dx= 0.

3x² – 12x + 9 = 0

x² – 4x + 3 = 0

(x – 1)( x – 3) = 0

x – 1 = 0 atau x – 3 = 0

x = 1 atau x = 3 (titik A)

Pada titik B:

x = 1

y = (1)³– 6(1)² + 9(1) + 3 = 7

Maka, koordinat B = (1, 7)

\begin{array}{l} Apabila x = 1, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x - 12 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 (1) - 12 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 6 < 0 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0, B ialah titik maksimum . \end{array}

Soalan 5:

Rajah di atas menunjukkan sebuah kon dengan diameter 0.8m dan tinggi 0.6m. Air dituang ke dalam kon dengan kadar tetap 0.02m³s^-1. Cari kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Isipadu air, I = \frac{1}{3} π j^{2} h \\ I = \frac{1}{3} π {(\frac{2}{3} h)}^{2} h \\ I = \frac{4}{27} π h^{3} \\ \frac{d I}{d h} = (3) \frac{4}{27} π h^{2} \\ \frac{d I}{d h} = \frac{4}{9} π h^{2} \end{array}

Kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m =

\frac{d h}{d t} .

\begin{array}{l} \frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d I} \times \frac{d I}{d t} \leftarrow Petua rantai \\ \frac{d h}{d t} = \frac{9}{4 π h^{2}} \times 0.02 \leftarrow Diberi \frac{d I}{d t} = 0.02 \\ \frac{d h}{d t} = \frac{9}{4 π {(0.5)}^{2}} \times 0.02 \\ \frac{d h}{d t} = 0.0572 m s^{- 1} \end{array}

Katakan,

h = tinggi paras air

j = jejari permukaan air

I = isipadu air

\begin{array}{l} \frac{j}{h} = \frac{0.4}{0.6} \leftarrow Konsep segitiga serupa \\ \frac{j}{h} = \frac{2}{3} \\ j = \frac{2}{3} h \end{array}

Leave a Comment Cancel reply