Soalan 5:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 5 menunjukkan dua titik pada satu satah Cartes.
(a) $$
\text { Tentukan } \overrightarrow{A B} \text {. }
$$
[1 markah]
(b) $$ \text { Titik } C \text { berada pada satah Cartes yang sama. } $$
$$ \text { Diberi bahawa } \overrightarrow{O C}=(m+2) \underline{i}+12 \underline{j} \text {, dengan keadaan } m \text { ialah pemalar. } $$
(i) $$ \text { Jika } \overleftrightarrow{O C} \text { adalah selari dengan } \overrightarrow{A B} \text {, } $$
$$ \text { cari nilai } m \text { dengan menggunakan operasi aritmetik vektor. } $$
(ii) $$ \text { Seterusnya, tentukan vektor unit dalam arah } \stackrel{\rightharpoonup}{O C} \text {. } $$
$$ \text { Nyatakan jawapan anda dalam bentuk vektor lajur. } $$
[5 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} & \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B} \\ & \overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} \\ & \overrightarrow{A B}=-(6 \underline{i}-11 \underline{j})+(-4 \underline{i}+13 \underline{j}) \\ & \overrightarrow{A B}=-6 \underline{i}+11 \underline{j}-4 \underline{i}+13 \underline{j} \\ & \overrightarrow{A B}=-10 \underline{i}+24 \underline{j} \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \overrightarrow{O C} \| \overrightarrow{A B} $$
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{O C} & =k \overrightarrow{A B} \\ (m+2) \underline{i}+12 \underline{j} & =k(-10 \underline{i}+24 \underline{j}) \\ (m+2) \underline{i}+12 \underline{j} & =-10 k \underline{i}+24 k \underline{j} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} j: 24 k & =12 \\ k & =\frac{12}{24} \\ k & =\frac{1}{2} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \underline{i}: m+2 & =-10 k \\ m+2 & =-10\left(\frac{1}{2}\right) \\ m & =-5-2 \\ m & =-7 \end{aligned} $$
$$ \therefore m=-7 $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} & \overrightarrow{O C}=(-7+2) \underline{i}+12 \underline{j} \\ & \overrightarrow{O C}=-5 \underline{i}+12 \underline{j} \end{aligned} $$
$$ \text { Vektor unit } \stackrel{\rightharpoonup}{O C}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{O C}}{|\stackrel{\rightharpoonup}{O C}|} $$
$$ \begin{aligned} & =\frac{-5 \underline{i}+12 \underline{j}}{\sqrt{(-5)^2+(12)^2}} \\ & =\frac{-5 \underline{i}+12 \underline{j}}{13} \\ & =\binom{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} \end{aligned} $$
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 5 menunjukkan dua titik pada satu satah Cartes.
(a) $$
\text { Tentukan } \overrightarrow{A B} \text {. }
$$[1 markah]
(b) $$ \text { Titik } C \text { berada pada satah Cartes yang sama. } $$
$$ \text { Diberi bahawa } \overrightarrow{O C}=(m+2) \underline{i}+12 \underline{j} \text {, dengan keadaan } m \text { ialah pemalar. } $$
(i) $$ \text { Jika } \overleftrightarrow{O C} \text { adalah selari dengan } \overrightarrow{A B} \text {, } $$
$$ \text { cari nilai } m \text { dengan menggunakan operasi aritmetik vektor. } $$
(ii) $$ \text { Seterusnya, tentukan vektor unit dalam arah } \stackrel{\rightharpoonup}{O C} \text {. } $$
$$ \text { Nyatakan jawapan anda dalam bentuk vektor lajur. } $$
[5 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} & \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B} \\ & \overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B} \\ & \overrightarrow{A B}=-(6 \underline{i}-11 \underline{j})+(-4 \underline{i}+13 \underline{j}) \\ & \overrightarrow{A B}=-6 \underline{i}+11 \underline{j}-4 \underline{i}+13 \underline{j} \\ & \overrightarrow{A B}=-10 \underline{i}+24 \underline{j} \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \overrightarrow{O C} \| \overrightarrow{A B} $$
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{O C} & =k \overrightarrow{A B} \\ (m+2) \underline{i}+12 \underline{j} & =k(-10 \underline{i}+24 \underline{j}) \\ (m+2) \underline{i}+12 \underline{j} & =-10 k \underline{i}+24 k \underline{j} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} j: 24 k & =12 \\ k & =\frac{12}{24} \\ k & =\frac{1}{2} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \underline{i}: m+2 & =-10 k \\ m+2 & =-10\left(\frac{1}{2}\right) \\ m & =-5-2 \\ m & =-7 \end{aligned} $$
$$ \therefore m=-7 $$
(b)(ii) $$ \begin{aligned} & \overrightarrow{O C}=(-7+2) \underline{i}+12 \underline{j} \\ & \overrightarrow{O C}=-5 \underline{i}+12 \underline{j} \end{aligned} $$
$$ \text { Vektor unit } \stackrel{\rightharpoonup}{O C}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{O C}}{|\stackrel{\rightharpoonup}{O C}|} $$
$$ \begin{aligned} & =\frac{-5 \underline{i}+12 \underline{j}}{\sqrt{(-5)^2+(12)^2}} \\ & =\frac{-5 \underline{i}+12 \underline{j}}{13} \\ & =\binom{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} \end{aligned} $$
Soalan 6:
Wan mempunyai satu set sepuluh keping kad berbentuk segi empat tepat yang serupa untuk satu permainan kanak-kanak. Kad-kad itu boleh disusun seperti yang ditunjukkan pada Rajah 6.
Diberi bahawa perimeter susunan ialah 81 cm dan luas setiap kad ialah 17.5 cm2.
(a) Cari panjang, dalam cm, dan lebar, dalam cm, bagi sekeping kad.
(b) Wan ingin menghasilkan sepuluh lagi kad yang serupa.
Adakah Wan boleh memotong dengan tepat sepuluh kad dari sekeping kadbod berukuran 17 cm × 11 cm?
Justifikasikan jawapan anda.
[8 markah]
Jawapan:
(a)
$$ \text { Katakan } x=\text { panjang, } y=\text { lebar } $$
$$ \begin{aligned} \text { Perimeter } & =8 x+10 y \\ 81 & =8 x+10 y \\ 10 y & =81-8 x \\ y & =\frac{81}{10}-\frac{8}{10} x \\ y & =8.1-0.8 x \ldots (1) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Luas } & =x y \\ x(8.1-0.8 x) & =17.5 \\ 8.1 x-0.8 x^2-17.5 & =0 \\ -0.8 x^2+8.1 x-17.5 & =0 \\ 8 x^2-81 x+175 & =0 \\ (8 x-25)(x-7) & =0 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 8 x-25 & =0 & , \quad x-7 & =0 \\ x & =\frac{25}{8} & x & =7 \end{aligned} $$
$$ \text { Daripada (1), } $$
$$ \text { Apabila } x=\frac{25}{8}, \quad \begin{aligned} & y=8.1-0.8\left(\frac{25}{8}\right) \\ & y=5.6 \text { (abaikan) } \end{aligned} $$
$$ \begin{array}{ll} \text { Apabila } x=7, & y=8.1-0.8(7) \\ & y=2.5 \end{array} $$
Berdasarkn rajah, x > y.
∴ Panjang = 7 cm
Lebar = 2.5 cm
(b)
$$ \text { Semak dimensi: } $$
$$ \text { Sisi } 17 \mathrm{~cm} \rightarrow 17 \mathrm{~cm} \div 7 \mathrm{~cm}=2.4 \mathrm{kad} $$
$$ \text { Sisi } 11 \mathrm{~cm} \rightarrow 11 \mathrm{~cm} \div 2.5 \mathrm{~cm}=4.4 \mathrm{kad} $$
$$ 2 \times 4=8 \mathrm{kad} $$
Kes 1: Secara mengufuk
Secara mengufuk, 8 kad yang serupa boleh diperoleh. Apabila dipusing, satu lagi kad boleh dipotong menggunakan baki dimensi kadbod (3 cm × 11 cm) seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Ia boleh memuatkan maksimum 9 kad.
Kes 2: Secara mencancang
Secara menegak, 6 kad yang serupa boleh diperoleh. Walau bagaimanapun, 2 lagi kad boleh diperoleh menggunakan baki kadbod seperti yang ditunjukkan. Ia boleh memuatkan maksimum 8 kad.
∴ Oleh itu, Wan tidak boleh mendapatkan tepat 10 kad daripada kadbod bersaiz 17 cm × 11 cm tersebut.
Wan mempunyai satu set sepuluh keping kad berbentuk segi empat tepat yang serupa untuk satu permainan kanak-kanak. Kad-kad itu boleh disusun seperti yang ditunjukkan pada Rajah 6.
Diberi bahawa perimeter susunan ialah 81 cm dan luas setiap kad ialah 17.5 cm2.
(a) Cari panjang, dalam cm, dan lebar, dalam cm, bagi sekeping kad.
(b) Wan ingin menghasilkan sepuluh lagi kad yang serupa.
Adakah Wan boleh memotong dengan tepat sepuluh kad dari sekeping kadbod berukuran 17 cm × 11 cm?
Justifikasikan jawapan anda.
[8 markah]
Jawapan:
(a)
$$ \text { Katakan } x=\text { panjang, } y=\text { lebar } $$
$$ \begin{aligned} \text { Perimeter } & =8 x+10 y \\ 81 & =8 x+10 y \\ 10 y & =81-8 x \\ y & =\frac{81}{10}-\frac{8}{10} x \\ y & =8.1-0.8 x \ldots (1) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Luas } & =x y \\ x(8.1-0.8 x) & =17.5 \\ 8.1 x-0.8 x^2-17.5 & =0 \\ -0.8 x^2+8.1 x-17.5 & =0 \\ 8 x^2-81 x+175 & =0 \\ (8 x-25)(x-7) & =0 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 8 x-25 & =0 & , \quad x-7 & =0 \\ x & =\frac{25}{8} & x & =7 \end{aligned} $$
$$ \text { Daripada (1), } $$
$$ \text { Apabila } x=\frac{25}{8}, \quad \begin{aligned} & y=8.1-0.8\left(\frac{25}{8}\right) \\ & y=5.6 \text { (abaikan) } \end{aligned} $$
$$ \begin{array}{ll} \text { Apabila } x=7, & y=8.1-0.8(7) \\ & y=2.5 \end{array} $$
Berdasarkn rajah, x > y.
∴ Panjang = 7 cm
Lebar = 2.5 cm
(b)
$$ \text { Semak dimensi: } $$
$$ \text { Sisi } 17 \mathrm{~cm} \rightarrow 17 \mathrm{~cm} \div 7 \mathrm{~cm}=2.4 \mathrm{kad} $$
$$ \text { Sisi } 11 \mathrm{~cm} \rightarrow 11 \mathrm{~cm} \div 2.5 \mathrm{~cm}=4.4 \mathrm{kad} $$
$$ 2 \times 4=8 \mathrm{kad} $$
Kes 1: Secara mengufuk
Secara mengufuk, 8 kad yang serupa boleh diperoleh. Apabila dipusing, satu lagi kad boleh dipotong menggunakan baki dimensi kadbod (3 cm × 11 cm) seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Ia boleh memuatkan maksimum 9 kad.
Kes 2: Secara mencancang
Secara menegak, 6 kad yang serupa boleh diperoleh. Walau bagaimanapun, 2 lagi kad boleh diperoleh menggunakan baki kadbod seperti yang ditunjukkan. Ia boleh memuatkan maksimum 8 kad.
∴ Oleh itu, Wan tidak boleh mendapatkan tepat 10 kad daripada kadbod bersaiz 17 cm × 11 cm tersebut.