Soalan 3:
Rajah 3 menunjukkan hubungan bagi tiga set.
(a) Tentukan gf(2). [1 markah]
(b) Tanpa mencari g-1(x), tentukan f(x). [2 markah]
(c) Dari jawapan di (b),
(i) cari f-1(x),
(ii) seterusnya, tentukan nilai x jika f-1g(x) = 4gf(2).
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} g f(x) & =4-6 x \\ g f(2) & =4-6(2) \\ g f(2) & =-8 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} g f(x) & =4-6 x \\ g[f(x)] & =4-6 x \\ 3 f(x)-5 & =4-6 x \\ 3 f(x) & =9-6 x \\ f(x) & =3-2 x \end{aligned} $$
(c)(i) $$ \begin{aligned} &\text { Katakan } 3-2 x=y\\ &\begin{aligned} x & =\frac{3-y}{2} \\ f^{-1}(y) & =\frac{3-y}{2} \end{aligned}\\ &\therefore f^{-1}(x)=\frac{3-x}{2} \end{aligned} $$
(c)(ii) $$ \begin{aligned} f^{-1} g(x) & =4 g f(2) \\ f^{-1}(3 x-5) & =4(-8) \\ \frac{3-(3 x-5)}{2} & =-32 \\ \frac{3-3 x+5}{3} & =-64 \\ -3 x & =-72 \\ x & =24 \end{aligned} $$
Rajah 3 menunjukkan hubungan bagi tiga set.
(a) Tentukan gf(2). [1 markah](b) Tanpa mencari g-1(x), tentukan f(x). [2 markah]
(c) Dari jawapan di (b),
(i) cari f-1(x),
(ii) seterusnya, tentukan nilai x jika f-1g(x) = 4gf(2).
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} g f(x) & =4-6 x \\ g f(2) & =4-6(2) \\ g f(2) & =-8 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} g f(x) & =4-6 x \\ g[f(x)] & =4-6 x \\ 3 f(x)-5 & =4-6 x \\ 3 f(x) & =9-6 x \\ f(x) & =3-2 x \end{aligned} $$
(c)(i) $$ \begin{aligned} &\text { Katakan } 3-2 x=y\\ &\begin{aligned} x & =\frac{3-y}{2} \\ f^{-1}(y) & =\frac{3-y}{2} \end{aligned}\\ &\therefore f^{-1}(x)=\frac{3-x}{2} \end{aligned} $$
(c)(ii) $$ \begin{aligned} f^{-1} g(x) & =4 g f(2) \\ f^{-1}(3 x-5) & =4(-8) \\ \frac{3-(3 x-5)}{2} & =-32 \\ \frac{3-3 x+5}{3} & =-64 \\ -3 x & =-72 \\ x & =24 \end{aligned} $$
Soalan 4:
Menyenaraikan semua sebutan bagi jujukan adalah tidak diterima untuk soalan ini.
Rajah 4 menunjukkan sebahagian pola yang dihasilkan daripada sejumlah ketakterhinggaan semi bulatan pada satu garis lurus dengan diameternya membentuk satu janjang geometri.
Semakin banyak semi bulatan ditambah kepada pola itu, jumlah panjang diameter menghampiri 38 cm . Nisbah sepunya janjang geometri bagi diameter semi bulatan ialah 4/5.
(a) Cari
(i) diameter, dalam cm, semi bulatan pertama,
(ii) panjang lengkok, dalam cm, semi bulatan ke-8 dalam sebutan π.
[4 markah]
(b) Diberi bahawa hasil tambah luas n semi bulatan pertama berwarna biru ialah kurang daripada 12π cm2, cari nilai n. [4 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} G P: r & =\frac{4}{5}=0.8, S_{\infty}=38 \mathrm{~cm} \\ S_{\infty} & =38 \mathrm{~cm} \\ \frac{a}{1-0.8} & =38 \\ \frac{a}{0.2} & =38 \\ a & =7.6 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
Diameter semi bulatan pertama = 7.6 cm
(a)(ii) $$ \begin{aligned} \text { Diameter semi bulatan ke- } 8, T_8 & =(7.6)(0.8)^7 \mathrm{~cm} \\ \ =1.5938 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \text { Radius semi bulatan ke- } 8=1.5938 \div 2 \mathrm{~cm} \\ &=0.7969 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Panjang lengkok } & =\frac{1}{2}(2 \pi j) \\ & =\pi(0.7969 \mathrm{~cm}) \\ & =0.7969 \pi \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
(b) Semi bulatan berwarna biru: Pertama, ke-3, ke-5, …
$$ \begin{aligned} \text { Janjang geometri baru: } r & =\left(\frac{4}{5}\right)^2 \\ =\frac{16}{25} \\ & =0.64 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jejari semi bulatan pertama } & =7.6 \mathrm{~cm} \div 2 \\ =3.8 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Luas semi bulatan pertama } & =\frac{1}{2}(\pi)(3.8)^2 \\ =7.22 \pi \mathrm{~cm}^2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} S_n & <12 \pi \\ \frac{7.22 \pi\left[1-(0.64)^n\right]}{1-0.64} & <12 \pi \\ 1-(0.64)^n & <\frac{12 \pi(0.36)}{7.22 \pi} \\ 1-(0.64)^n & <0.5983 \\ 1-0.5983 & <(0.64)^n \\ 0.4017 & <(0.64)^n \end{aligned} $$
log10(0.4017) < nlog10(0.64)
-0.3961 < n(-0.1938)
$$ \frac{-0.3961}{-0.1938}>n $$
n < 2.0439
∴ n = 2
Menyenaraikan semua sebutan bagi jujukan adalah tidak diterima untuk soalan ini.
Rajah 4 menunjukkan sebahagian pola yang dihasilkan daripada sejumlah ketakterhinggaan semi bulatan pada satu garis lurus dengan diameternya membentuk satu janjang geometri.
Semakin banyak semi bulatan ditambah kepada pola itu, jumlah panjang diameter menghampiri 38 cm . Nisbah sepunya janjang geometri bagi diameter semi bulatan ialah 4/5.(a) Cari
(i) diameter, dalam cm, semi bulatan pertama,
(ii) panjang lengkok, dalam cm, semi bulatan ke-8 dalam sebutan π.
[4 markah]
(b) Diberi bahawa hasil tambah luas n semi bulatan pertama berwarna biru ialah kurang daripada 12π cm2, cari nilai n. [4 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} G P: r & =\frac{4}{5}=0.8, S_{\infty}=38 \mathrm{~cm} \\ S_{\infty} & =38 \mathrm{~cm} \\ \frac{a}{1-0.8} & =38 \\ \frac{a}{0.2} & =38 \\ a & =7.6 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
Diameter semi bulatan pertama = 7.6 cm
(a)(ii) $$ \begin{aligned} \text { Diameter semi bulatan ke- } 8, T_8 & =(7.6)(0.8)^7 \mathrm{~cm} \\ \ =1.5938 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \text { Radius semi bulatan ke- } 8=1.5938 \div 2 \mathrm{~cm} \\ &=0.7969 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Panjang lengkok } & =\frac{1}{2}(2 \pi j) \\ & =\pi(0.7969 \mathrm{~cm}) \\ & =0.7969 \pi \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
(b) Semi bulatan berwarna biru: Pertama, ke-3, ke-5, …
$$ \begin{aligned} \text { Janjang geometri baru: } r & =\left(\frac{4}{5}\right)^2 \\ =\frac{16}{25} \\ & =0.64 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Jejari semi bulatan pertama } & =7.6 \mathrm{~cm} \div 2 \\ =3.8 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \text { Luas semi bulatan pertama } & =\frac{1}{2}(\pi)(3.8)^2 \\ =7.22 \pi \mathrm{~cm}^2 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} S_n & <12 \pi \\ \frac{7.22 \pi\left[1-(0.64)^n\right]}{1-0.64} & <12 \pi \\ 1-(0.64)^n & <\frac{12 \pi(0.36)}{7.22 \pi} \\ 1-(0.64)^n & <0.5983 \\ 1-0.5983 & <(0.64)^n \\ 0.4017 & <(0.64)^n \end{aligned} $$
log10(0.4017) < nlog10(0.64)
-0.3961 < n(-0.1938)
$$ \frac{-0.3961}{-0.1938}>n $$
n < 2.0439
∴ n = 2