Soalan 1:
Graf fungsi kuadratik f(x) = x2 – 2x + 6 – m menyilang paksi- x pada titik A dan titik B, dengan keadaan m ialah pemalar.
(a) Cari julat nilai m. [2 markah]
(b)(i) Jika m = 6, cari julat nilai x untuk f(x) > 8 dengan menggunakan kaedah garis nombor.
(ii) Diberi bahawa A(h, 0) dan B(k, 0), dengan keadaan h dan k ialah pemalar.
Jika f(x) = 0, cari persamaan kuadratik dalam sebutan m yang mempunyai punca-punca h + k + 1 dan hk – 1.
[5 markah]
Jawapan:
(a) f(x) bersilang pada dua titik = dua punca berbeza
$$ \begin{aligned} b^2-4 a c & >0 \\ (-2)^2-4(1)(6-m) & >0 \\ 4-24+4 m & >0 \\ -20+4 m & >0 \\ 4 m & >20 \\ m & >\frac{20}{4} \\ m & >5 \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \begin{aligned} m=6 \rightarrow f(x) & =x^2-2 x+6-6 \\ & =x^2-2 x \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} f(x) & >8 \\ x^2-2 x & >8 \\ x^2-2 x-8 & >0 \\ (x-4)(x+2) & >0 \end{aligned} $$
$$
\therefore x<-2 \text { atau } x>4
$$
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} f(x) & =0 \\ x^2-2 x+6-m & =0 \end{aligned}\\ &\text { Punca: } h, k \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { HTP: }\\ &\begin{aligned} & h+k=-\left(-\frac{2}{1}\right) \\ & h+k=2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \ HDP: h \times k & =\left(\frac{6-m}{1}\right) \\ h k & =6-m \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { Punca baru : } h+k+1, h k-1 $$
$$ \begin{aligned} &\text { HTP baru: }\\ &\begin{aligned} (h+k+1)+(h k-1) & =h+k+1+h k-1 \\ & =h+k+h k \\ & =2+(6-m) \\ & =8-m \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { HDP baru: }\\ &\begin{aligned} (h+k+1)(h k-1) & =(2+1)(6-m-1) \\ & =3(5-m) \\ & =15-3 m \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Persamaan baru: }\\ &\begin{array}{r} x^2-(8-m) x+(15-3 m)=0 \\ x^2-(8-m) x+15-3 m=0 \end{array} \end{aligned} $$
Graf fungsi kuadratik f(x) = x2 – 2x + 6 – m menyilang paksi- x pada titik A dan titik B, dengan keadaan m ialah pemalar.
(a) Cari julat nilai m. [2 markah]
(b)(i) Jika m = 6, cari julat nilai x untuk f(x) > 8 dengan menggunakan kaedah garis nombor.
(ii) Diberi bahawa A(h, 0) dan B(k, 0), dengan keadaan h dan k ialah pemalar.
Jika f(x) = 0, cari persamaan kuadratik dalam sebutan m yang mempunyai punca-punca h + k + 1 dan hk – 1.
[5 markah]
Jawapan:
(a) f(x) bersilang pada dua titik = dua punca berbeza
$$ \begin{aligned} b^2-4 a c & >0 \\ (-2)^2-4(1)(6-m) & >0 \\ 4-24+4 m & >0 \\ -20+4 m & >0 \\ 4 m & >20 \\ m & >\frac{20}{4} \\ m & >5 \end{aligned} $$
(b)(i) $$ \begin{aligned} m=6 \rightarrow f(x) & =x^2-2 x+6-6 \\ & =x^2-2 x \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} f(x) & >8 \\ x^2-2 x & >8 \\ x^2-2 x-8 & >0 \\ (x-4)(x+2) & >0 \end{aligned} $$
$$
\therefore x<-2 \text { atau } x>4
$$(b)(ii)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} f(x) & =0 \\ x^2-2 x+6-m & =0 \end{aligned}\\ &\text { Punca: } h, k \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { HTP: }\\ &\begin{aligned} & h+k=-\left(-\frac{2}{1}\right) \\ & h+k=2 \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \ HDP: h \times k & =\left(\frac{6-m}{1}\right) \\ h k & =6-m \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { Punca baru : } h+k+1, h k-1 $$
$$ \begin{aligned} &\text { HTP baru: }\\ &\begin{aligned} (h+k+1)+(h k-1) & =h+k+1+h k-1 \\ & =h+k+h k \\ & =2+(6-m) \\ & =8-m \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { HDP baru: }\\ &\begin{aligned} (h+k+1)(h k-1) & =(2+1)(6-m-1) \\ & =3(5-m) \\ & =15-3 m \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Persamaan baru: }\\ &\begin{array}{r} x^2-(8-m) x+(15-3 m)=0 \\ x^2-(8-m) x+15-3 m=0 \end{array} \end{aligned} $$
Soalan 2:
(a) Diberi bahawa tan θ = p, dengan keadaan p ialah pemalar dan 0o ≤ θ ≤ 90o.
Cari kos 2θ dalam sebutan p. [3 markah]
(b)(i) $$ \text { Lakar graf bagi } y=-\sin 2 x \text { untuk } 0 \leqslant x \leqslant \frac{3 \pi}{2} \text {. } $$
(ii) $$ \text { Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan } $$
$$ \text { penyelesaian bagi persamaan }-\frac{\pi}{4}=\sin x \text { kos } x \text { untuk } 0 \leqslant x \leqslant \frac{3 \pi}{2} \text {. } $$
$$ \text { Nyatakan bilangan penyelesaian itu. } $$
[5 markah]
Jawapan:
(a)
$$ \begin{aligned} & \cos 2 \theta= \cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta \\ & \cos 2 \theta=\left(\frac{1}{\sqrt{p^2+1}}\right)^2-\left(\frac{p}{\sqrt{p^2+1}}\right)^2 \\ & \cos 2 \theta=\frac{1}{p^2+1}-\frac{p^2}{p^2+1} \\ & \ \cos 2 \theta=\frac{1-p^2}{p^2+1} \end{aligned} $$
(b)(i)
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} y & =-\sin 2 x \\ y & =-2 \sin x \cos x \\ -\frac{y}{2} & =\sin x \cos x \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \sin x \cos x & =-\frac{\pi}{4} \\ -\frac{y}{2} & =-\frac{\pi}{4} \\ \frac{y}{2} & =\frac{\pi}{4} \\ y & =\frac{\pi}{2} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { Bilangan penyelesaian }=0 $$
(a) Diberi bahawa tan θ = p, dengan keadaan p ialah pemalar dan 0o ≤ θ ≤ 90o.
Cari kos 2θ dalam sebutan p. [3 markah]
(b)(i) $$ \text { Lakar graf bagi } y=-\sin 2 x \text { untuk } 0 \leqslant x \leqslant \frac{3 \pi}{2} \text {. } $$
(ii) $$ \text { Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan } $$
$$ \text { penyelesaian bagi persamaan }-\frac{\pi}{4}=\sin x \text { kos } x \text { untuk } 0 \leqslant x \leqslant \frac{3 \pi}{2} \text {. } $$
$$ \text { Nyatakan bilangan penyelesaian itu. } $$
[5 markah]
Jawapan:
(a)
$$ \begin{aligned} & \cos 2 \theta= \cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta \\ & \cos 2 \theta=\left(\frac{1}{\sqrt{p^2+1}}\right)^2-\left(\frac{p}{\sqrt{p^2+1}}\right)^2 \\ & \cos 2 \theta=\frac{1}{p^2+1}-\frac{p^2}{p^2+1} \\ & \ \cos 2 \theta=\frac{1-p^2}{p^2+1} \end{aligned} $$
(b)(i)
(b)(ii)
$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} y & =-\sin 2 x \\ y & =-2 \sin x \cos x \\ -\frac{y}{2} & =\sin x \cos x \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \sin x \cos x & =-\frac{\pi}{4} \\ -\frac{y}{2} & =-\frac{\pi}{4} \\ \frac{y}{2} & =\frac{\pi}{4} \\ y & =\frac{\pi}{2} \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \text { Bilangan penyelesaian }=0 $$