Soalan 7:
(a) Nyatakan sudut pelengkap, dalam radian, bagi α dalam sebutan π dan α. [1 markah]
(b) Pada Rajah 7, lakar satu garisan untuk mewakilkan -225°. [1 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} &\text { Sudut pelengkap }\\ &=\frac{\pi}{2}-\alpha \end{aligned} $$
(b)
(a) Nyatakan sudut pelengkap, dalam radian, bagi α dalam sebutan π dan α. [1 markah]
(b) Pada Rajah 7, lakar satu garisan untuk mewakilkan -225°. [1 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} &\text { Sudut pelengkap }\\ &=\frac{\pi}{2}-\alpha \end{aligned} $$
(b)
Soalan 8:
(a) $$ \text { Diberi bahawa } f(x)=\frac{3}{(1-2 x)^8} \text { dan } f^{\prime}(x)=\frac{a}{(1-2 x)^b} \text {, dengan keadaan } a \text { dan } b \text { ialah pemalar. } $$
$$ \text { Cari nilai } a \text { dan nilai } b \text {. } $$
[2 markah]
(b) Luas sektor sebuah bulatan diberi oleh y = x2 – 4x + 10p, dengan keadaan x ialah jejari dan p ialah pemalar. Menggunakan pembezaan, cari luas minimum, dalam cm2, sektor itu dalam sebutan p. [3 markah]
(c) Sebuah kon mempunyai isi padu 16πcm3 dengan tinggi 3 cm.
Jika tinggi kon itu ditetapkan, menggunakan pembezaan, cari perubahan kecil isi padu, dalam cm3, kon itu apabila jejarinya bertambah sebanyak 0.5%.
[5 markah]
(d) $$ \text { Diberi bahawa } \int_0^p f(x) \mathrm{d} x=3 \text { dan } \int_0^p g(x) \mathrm{d} x=6 \text {. } $$
$$ \text { Jika } \int_0^p[h f(x)+k g(x)] \mathrm{d} x-\int_p^0 g(x) \mathrm{d} x=12 \text { dengan keadaan } h \text { dan } k \text { ialah pemalar, ungkapkan } h \text { dalam sebutan } k \text {. } $$
[3 markah]
(e) $$ \text { Diberi bahawa } \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left[\frac{4}{3} h(x)\right]=\frac{x+1}{3 x-4} \text {, cari } \int\left(\frac{2 x^2-2}{3 x^2-7 x+4}\right) \mathrm{d} x \text {, dalam sebutan } h(x) \text {. } $$
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} f(x) & =3(1-2 x)^{-8} \\ f^{\prime}(x) & =(3)(-8)(1-2 x)^{-9}(0-2) \\ f^{\prime}(x) & =48(1-2 x)^{-9} \\ f^{\prime}(x) & =\frac{48}{(1-2 x)^9} \equiv \frac{a}{(1-2 x)^b} \\ \therefore a & =48 \\ b & =9 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} y & =x^2-4 x+10 p \\ \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} & =2 x-4 \end{aligned}\\ &\text { Pada minimum, }\\ &\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =0 \\ 2 x-4 & =0 \\ x & =2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Apabila } x=2 \text {, }\\ &\begin{aligned} & y=(2)^2-4(2)+10 p \\ & y=4-8+10 p \\ & y=10 p-4 \end{aligned} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} V_{\text {kon}} & =\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ \frac{1}{3} \pi r^2 h & =16 \pi \\ \frac{1}{3} \pi r^2(3) & =16 \pi \\ \pi r^2 & =16 \pi \\ r^2 & =16 \\ r & =\sqrt{16} \\ r & =4 \mathrm{~cm} \\ r_{\text {baru}} & =4 \mathrm{~cm}+(4 \times 0.5 \%) \mathrm{cm} \\ & =4 \mathrm{~cm}+0.02 \mathrm{~cm} \\ & =4.02 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & V_{\text {kon}}=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ & \quad \frac{\mathrm{~d} V}{\mathrm{~d} r}=\frac{2}{3} \pi r h \\ & \frac{\delta V}{\delta r} \approx \frac{\mathrm{~d} V}{\mathrm{~d} r} \\ & \delta V=\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} r} \times \delta r \\ & \delta V=\left(\frac{2}{3} \pi r h\right)(4.02-4) \\ & \delta V=\frac{2}{3} \pi(4)(3)(0.02) \\ & \delta V=0.16 \pi \mathrm{~cm}^3 \end{aligned} $$
(d) $$ \begin{aligned} \int_0^p[h f(x)+k g(x)] \mathrm{d} x-\int_p^0 g(x) \mathrm{d} x & =12 \\ h \int_0^p f(x) \mathrm{d} x+k \int_0^p g(x) \mathrm{d} x-\int_p^0 g(x) \mathrm{d} x & =12 \\ h(3)+k(6)-(-6) & =12 \\ 3 h & =12-6-6 k \\ 3 h & =6-6 k \\ h & =\frac{6}{3}-\frac{6 k}{3} \\ h & =2-2 k \end{aligned} $$
(e) $$ \begin{aligned} \int \frac{2 x^2-2}{3 x^2-7 x+4} \mathrm{~d} x & =\int \frac{2\left(x^2-1\right)}{(3 x-4)(x-1)} \mathrm{d} x \\ & =\int \frac{2(x-1)(x+1)}{(3 x-4)(x-1)} \mathrm{d} x \\ & =\int \frac{2(x+1)}{(3 x-4)} \mathrm{d} x \\ & =2 \int \frac{x+1}{3 x-4} \mathrm{~d} x \\ & =2\left[\frac{4}{3} h(x)\right]+c \\ & =\frac{8}{3} h(x)+c \end{aligned} $$
(a) $$ \text { Diberi bahawa } f(x)=\frac{3}{(1-2 x)^8} \text { dan } f^{\prime}(x)=\frac{a}{(1-2 x)^b} \text {, dengan keadaan } a \text { dan } b \text { ialah pemalar. } $$
$$ \text { Cari nilai } a \text { dan nilai } b \text {. } $$
[2 markah]
(b) Luas sektor sebuah bulatan diberi oleh y = x2 – 4x + 10p, dengan keadaan x ialah jejari dan p ialah pemalar. Menggunakan pembezaan, cari luas minimum, dalam cm2, sektor itu dalam sebutan p. [3 markah]
(c) Sebuah kon mempunyai isi padu 16πcm3 dengan tinggi 3 cm.
Jika tinggi kon itu ditetapkan, menggunakan pembezaan, cari perubahan kecil isi padu, dalam cm3, kon itu apabila jejarinya bertambah sebanyak 0.5%.
[5 markah]
(d) $$ \text { Diberi bahawa } \int_0^p f(x) \mathrm{d} x=3 \text { dan } \int_0^p g(x) \mathrm{d} x=6 \text {. } $$
$$ \text { Jika } \int_0^p[h f(x)+k g(x)] \mathrm{d} x-\int_p^0 g(x) \mathrm{d} x=12 \text { dengan keadaan } h \text { dan } k \text { ialah pemalar, ungkapkan } h \text { dalam sebutan } k \text {. } $$
[3 markah]
(e) $$ \text { Diberi bahawa } \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left[\frac{4}{3} h(x)\right]=\frac{x+1}{3 x-4} \text {, cari } \int\left(\frac{2 x^2-2}{3 x^2-7 x+4}\right) \mathrm{d} x \text {, dalam sebutan } h(x) \text {. } $$
[3 markah]
Jawapan:
(a) $$ \begin{aligned} f(x) & =3(1-2 x)^{-8} \\ f^{\prime}(x) & =(3)(-8)(1-2 x)^{-9}(0-2) \\ f^{\prime}(x) & =48(1-2 x)^{-9} \\ f^{\prime}(x) & =\frac{48}{(1-2 x)^9} \equiv \frac{a}{(1-2 x)^b} \\ \therefore a & =48 \\ b & =9 \end{aligned} $$
(b) $$ \begin{aligned} &\begin{aligned} y & =x^2-4 x+10 p \\ \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} & =2 x-4 \end{aligned}\\ &\text { Pada minimum, }\\ &\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} & =0 \\ 2 x-4 & =0 \\ x & =2 \end{aligned} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} &\text { Apabila } x=2 \text {, }\\ &\begin{aligned} & y=(2)^2-4(2)+10 p \\ & y=4-8+10 p \\ & y=10 p-4 \end{aligned} \end{aligned} $$
(c) $$ \begin{aligned} V_{\text {kon}} & =\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ \frac{1}{3} \pi r^2 h & =16 \pi \\ \frac{1}{3} \pi r^2(3) & =16 \pi \\ \pi r^2 & =16 \pi \\ r^2 & =16 \\ r & =\sqrt{16} \\ r & =4 \mathrm{~cm} \\ r_{\text {baru}} & =4 \mathrm{~cm}+(4 \times 0.5 \%) \mathrm{cm} \\ & =4 \mathrm{~cm}+0.02 \mathrm{~cm} \\ & =4.02 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & V_{\text {kon}}=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ & \quad \frac{\mathrm{~d} V}{\mathrm{~d} r}=\frac{2}{3} \pi r h \\ & \frac{\delta V}{\delta r} \approx \frac{\mathrm{~d} V}{\mathrm{~d} r} \\ & \delta V=\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} r} \times \delta r \\ & \delta V=\left(\frac{2}{3} \pi r h\right)(4.02-4) \\ & \delta V=\frac{2}{3} \pi(4)(3)(0.02) \\ & \delta V=0.16 \pi \mathrm{~cm}^3 \end{aligned} $$
(d) $$ \begin{aligned} \int_0^p[h f(x)+k g(x)] \mathrm{d} x-\int_p^0 g(x) \mathrm{d} x & =12 \\ h \int_0^p f(x) \mathrm{d} x+k \int_0^p g(x) \mathrm{d} x-\int_p^0 g(x) \mathrm{d} x & =12 \\ h(3)+k(6)-(-6) & =12 \\ 3 h & =12-6-6 k \\ 3 h & =6-6 k \\ h & =\frac{6}{3}-\frac{6 k}{3} \\ h & =2-2 k \end{aligned} $$
(e) $$ \begin{aligned} \int \frac{2 x^2-2}{3 x^2-7 x+4} \mathrm{~d} x & =\int \frac{2\left(x^2-1\right)}{(3 x-4)(x-1)} \mathrm{d} x \\ & =\int \frac{2(x-1)(x+1)}{(3 x-4)(x-1)} \mathrm{d} x \\ & =\int \frac{2(x+1)}{(3 x-4)} \mathrm{d} x \\ & =2 \int \frac{x+1}{3 x-4} \mathrm{~d} x \\ & =2\left[\frac{4}{3} h(x)\right]+c \\ & =\frac{8}{3} h(x)+c \end{aligned} $$
Soalan 9:
Dalam satu uji bakat rancangan realiti TV, setiap peserta dinilai berdasarkan tiga jenis bakat iaitu menyanyi, menari dan berlakon. Jadual 9 menunjukkan taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak diskret bagi X, dengan keadaan X mewakili bilangan bakat yang peserta lulus dalam uji bakat itu pada musim lepas.
(a)(i) Tentukan nilai k. [1 markah]
(ii) Seterusnya, lakar dan label graf bagi taburan itu pada Rajah 9. [2 markah]
(b) Peserta yang lulus sekurang-kurangnya dua jenis bakat akan layak ke peringkat seterusnya.
Menggunakan jawapan di (a)(i), anggarkan bilangan peserta yang akan layak jika jumlah bilangan peserta pada musim ini ialah 1850 orang.
[2 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} \frac{17}{50}+\frac{22}{50}+\frac{10}{50}+k & =1 \\ \frac{49}{50}+k & =1 \\ k & =1-\frac{49}{50} \\ k & =\frac{1}{50} \end{aligned} $$
(a)(ii)
(b) $$ \begin{aligned} & P(X \geqslant 2)=P(X=2)+P(X=3) \\ & P(X \geqslant 2)=\frac{10}{50}+\frac{1}{50} \\ & P(X \geqslant 2)=\frac{11}{50} \\ & E(X)=\frac{11}{50} \times 1850 \\ & E(X)=407 \end{aligned} $$ 407 peserta yang akan layak.
Dalam satu uji bakat rancangan realiti TV, setiap peserta dinilai berdasarkan tiga jenis bakat iaitu menyanyi, menari dan berlakon. Jadual 9 menunjukkan taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak diskret bagi X, dengan keadaan X mewakili bilangan bakat yang peserta lulus dalam uji bakat itu pada musim lepas.
(a)(i) Tentukan nilai k. [1 markah](ii) Seterusnya, lakar dan label graf bagi taburan itu pada Rajah 9. [2 markah]
(b) Peserta yang lulus sekurang-kurangnya dua jenis bakat akan layak ke peringkat seterusnya.
Menggunakan jawapan di (a)(i), anggarkan bilangan peserta yang akan layak jika jumlah bilangan peserta pada musim ini ialah 1850 orang.
[2 markah]
Jawapan:
(a)(i) $$ \begin{aligned} \frac{17}{50}+\frac{22}{50}+\frac{10}{50}+k & =1 \\ \frac{49}{50}+k & =1 \\ k & =1-\frac{49}{50} \\ k & =\frac{1}{50} \end{aligned} $$
(a)(ii)
(b) $$ \begin{aligned} & P(X \geqslant 2)=P(X=2)+P(X=3) \\ & P(X \geqslant 2)=\frac{10}{50}+\frac{1}{50} \\ & P(X \geqslant 2)=\frac{11}{50} \\ & E(X)=\frac{11}{50} \times 1850 \\ & E(X)=407 \end{aligned} $$ 407 peserta yang akan layak.